本篇我们看看随机变量最常见的两个数字特征——期望和方差——的物理意义。
为啥要看物理意义？这是一个很显然的问题。我们在数学学习过程中，面对最多的恐怕就是各种公式和定理，公式是量的关系的表达，这种表达往往看起来很费劲，不够直观。于是，我们会探究公式的几何意义，用图形去阐释公式，抛物线总比二次方程来的直观，这是好的。还有一个更直观的方法，就是探究物理意义，有些物理概念是我们从小就接触的，如速度、质量、重心，有些是系统地学习后掌握的，如转动。投垒球、实心球、投篮，无数次的接触，让我们建立起一种非常自然的感觉，这时候，倘若我们将数学概念或者公式对应到一个具体的物理概念，就能非常直观容易的掌握其本质。对！就是打比方！打一个生活中常见的比方！
一维变量期望的物理意义
先考虑一维物体的转动，如下图，长度为L的细长杆质量M且质量分布不均匀，一端距原点 ，若有线密度p（其实是rho，为了打字简单写成p），绕原点匀速转动且有角速度w，如下上图，分析所需的向心力可以认为是同质量的质点x0以通常角速度转动所需的向心力，如下下图。
可以假设细长杆的一个微元可视为质点，则向心力微元和整体向心力：
若将其视为质点，则向心力等价为质量M的质点小球在 处以角速度w匀速转动，有：
对比一维变量的数学期望定义式：
可得数学期望的物理意义为绕原点匀速转动时的质心位置，可理解有量纲[m]。
简单来讲就是细长杆的质心，之所以要特别强调转动，是为了下面的二维考虑，其次，在考察方差的物理意义时，还会联系转动惯量和平行轴定理。
二维变量期望的物理意义
这还不简单，1D变2D而已，我们考虑地简单点，不涉及两个随机变量独立不独立，反正就探索一个物理的比方而已。直接上图
可得二维变量(X,Y)的数学期望EX的物理意义为平面绕Y轴匀速转动时的在x方向的质心位置，也可理解有量纲[m]。EY的物理意义同样可得。
期望的性质
于是，数学期望的性质也就十分明了了。
性质1不就是在说一个质点么。
性质2就是在说质心的范围，显然不会超出物体本身。
性质3表达了一个拉伸，好比一根皮筋，拉伸后，重心自然也变化。
性质4=1+3，也非常明了。
性质5、6、7，不太物理，遂放弃。需要结合线性代数挖掘两个向量的相互关系。
对于寻求物理意义这个事情，不总是一帆风顺的，原因之一在于数学是纯粹的思维产物，特别是变量之间的乘除。乘除在物理上，必须有严格的量纲支撑，两个物理量倘若在量纲上乘不出一个有意义的物理量，它们是没有乘法的。但数学不然，x*y，在数学上是可行的。所以性质5、6、7在涉及两个变量的关系时，寻找物理意义不是一件容易的事。既然物理意义时为了方便理解，那么不容易的事情，就暂时不做了，徒添烦恼。
方差的物理意义
依然考虑转动。
转动惯量有：
但是方差的定义中，是X-EX，而非X。简单，EX是质心，-EX就是把转动抽拉到质心旋转，而不是上面的绕原点。很自然，物理中有平行轴定理
对比方差的计算公式
显然，方差的物理意义可以理解为物体以质心为原点时的单位质量的转动惯量，但跟物理的转动惯量不一样，没有质量这个因子，所以描述的是一种和具体质量无关的惰性，这种惰性和分布有关，所以有量纲[m^2] 。DX越大，说明分布越靠外，转动惯量也越大。
二维么，也可以同样扩展一下
同样这里不考虑复杂的独立关系。
方差的取值范围
这个问题如果放在概率论中，非常不好解，但是放在物理中，一下子就可以明白。
最小为0，就是质点么。
最大么，无穷大，比方说两个0.5kg的质点球，对称地分布在原点两侧，无穷远的地方！转动惯量无穷大了！
方差更深层次的理解
方差就是转动惯量，单位质量的物体，且绕质心。在后两个条件的约束下，可以想象，它是这个物体的一个特征属性，一旦物体确定了，这个属性的值也就确定了，是一个内禀属性，完全由它自己决定。回想线性代数中的
- 内积衡量了两个向量的近似程度；
- 范数衡量了一个向量的长度；
- 度量衡量了两个向量的距离。
可见，方差作为范数，也应该是一件讲得通的事情。具体能不能讲通，见上一篇笔记。
结尾
本篇考察了期望和方差的物理意义，能帮助我们看得清摸得着这两个数学概念。希望大家能借此培养一个良好的习惯，毕竟，离数学最近的就是物理了。